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No iOS, o push exige o app adicionado à Tela de Início.
Por uma limitação do próprio iPhone, notificações push só funcionam quando o site está adicionado como app na Tela de Início — não na aba comum do Safari. Não é implicância nossa, é regra da Apple. 😉
💡 Depois de instalado, use sempre o ícone da Tela de Início — é ele que mantém os alertas funcionando.